6.1 หลักการเบื้องต้นของพีชคณิตบูลีน (Boolean Agebra)
Boolean Algebra เป็นเทคนิคแบบหนึ่งที่ใช้ในกาวลดรูป Switching Function ซึ่งผู้คิดค้นนี้ คือ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ
George Boole ในพีชคณิตบูลีนเราใช้ตัวอักษร A, B, C,…….. แทนตัวแปร ค่า 2 สภาวะ คือ 0 หรือ 1 ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรแต่
ละตัวเราใช้เครื่องหมายทางเลขคณิตแทนความสัมพันธ์ ระหว่างตัวแปรค่านั้นๆ เครื่องหมายทางเลขคณิตดังกล่าวได้แก่
เครื่องหมาย • แทนความหมาย AND
เครื่องหมาย + แทนความหมาย OR
เครื่องหมาย - (Bar) แทนความหมาย NOT
|
6.1.1 AND
รูปที่ 6.1 วงจร AND ที่แทนด้วยสวิทซ์
|
หน้าที่ AND อธิบายได้ตามรูปที่ 6.1 คือ หลอดไฟจะติดก็ต่อเมื่อสวิทช์ A และสวิทซ์ B ปิด
สวิทซ์ปิด คือ ลอจิก 1
สวิทซ์เปิด คือ ลอจิก 0
ไฟติด คือ ลอจิก 1
ไฟดับ คือ ลอจิก 0
ดังนั้น เราสามารถเขียนตารางความจริง (Truth table) สำหรับวงจร AND ได้ดังนี้
|
|
A
|
B
|
Y
= A • B
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.1 Truth table ของวงจร AND
|
ผลลัพธ์ของวงจร AND สามารถเขียนแทนได้ด้วยสมการ
Y = A • B
ในทางปฏิบัติเครื่องหมาย • อาจจะไม่เขียนก็ได้ เราจึงเขียนสมการได้เป็น
Y = AB
จากตารางที่ 6.1 อธิบายได้ว่า
เมื่ อ A = 0, B = 0 จะได้ Y = 0 • 0= 0
A = 0, B = 1 จะได้ Y = 0 • 1 = 0
A = 1, B = 0 จะได้ Y = 1 • 0 = 0
A = 1, B = 1 จะไค้ Y = 1 • 1 = 1
เราจึงสรุปได้ว่า Output ของวงจร AND จะเป็น 1 ก็ต่อเมื่อ Input (A และ B) เป็น 1 ทั้งหมด
และจะได้ Output เป็น 0 ก็ต่อเมื่อ Input เป็น 0 ตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งหมด
|
6.1.2 OR
รูปที่ 6.2 วงจร OR ที่แทนด้วยสวิทซ์
|
|
A
|
B
|
Y
= A +B
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.2 ตารางความจริง ของวงจร OR
|
หน้าที่ OR อธิบายๆ ได้ตามรูปที่ 6.2 คือ หลอดไฟจะติดก็ต่อเมื่อสวิทช์ A หรือ สวิทช์ B ตัวใดตัวหนึ่ง หรือทั้งสองตัวปิด
ดังนั้น เราสามารถเขียนตารางความจริง (Truth table) สำหรับวงจร OR ได้ดังนี้
ผลลัพธ์ของวงจร OR สามารถเขียนแทนได้ด้วยสมการ
Y = A + B
จากตารางที่ 6.2 อธิบายได้ว่า
เมื่อ A = 0, B = 0 จะได้ Y = 0 + 0= 0
A = 0, B = 1 จะได้ Y = 0 + 1 = 1
A = 1, B = 0 จะได้ Y = 1 + 0 = 1
A = 1, B = 1 จะไค้ Y = 1 + 1 = 1
ราจึงสรุปได้ว่า Output ของวงจร OR จะเป็น 1 ก็ต่อเมื่อ Input (A หรือ B) ตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งหมด เป็น 1 และจะได้
้ Output เป็น 0 ก็ต่อเมื่อ Input ทั้งหมดเป็น 0
|
6.1.3 NOT หรือ Inverter
หน้าที่ NOT หรือ Inverter คือ การ Complement หรือ กลับสภาวะของตัวแปร หรืออาจกล่าวได้ว่า Output ของวงจร
NOT เป็น Complement ของ Input เราสามารถเขียนตารางความจริง (Truth table) สำหรับวงจร NOT ได้ดังนี้
|
A
|
Y = 
|
0
|
1
|
1
|
0
|
ตารางที่ 6.3 ตารางความจริง ของวงจร NOT
|
ผลลัพธ์ของวงจร NOT สามารถเขียนแทนได้ด้วยสมการ
Y = (อ่านว่า NOT A หรือ A Bar)
จากตารางที่ 6.3 อธิบายได้ว่า
เมื่อ A = 0 จะได้ Y = 1
A = 1 จะได้ Y = 0
เราจึงสรุปได้ว่า Output ของวงจร NOT เป็น Complement ของ Input นั่นเอง
|
6.2 ทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน กฎและสูตรต่างๆ ที่เขียนขึ้นมาจากการกระทำตามตัวกระทำของตัวแปรใดๆ หรือค่าคงที่ใดๆ กับตัวแปรซึ่งแยกเป็น 6 กลุ่ม รวม 21 สูตร คือ
|
6.2.1 กฎของนอต (NOT)
6.2.2 กฎของแอนด์ (AND)
6.2.3 กฎของออร์ (OR)
6.2.4 กฎของการสลับที่ (commutative Law)
6.2.5 กฎของการรวมกัน (Associative Law)
6.2.6 กฎของการกระจาย (Distributive Law)
|
พิจารณาตัวอย่างเกี่ยวกับการนำเอากฎของพีชคณิตบูลีนไปใช้นั้น ใช้เพื่ออะไร จะเห็นว่าเมื่อ นำกฎต่างๆ ไปใช้กับสมการบูลีน
แล้วจะสามารถจัดรูปแบบของสมการได้ง่ายขึ้นและขนาดของสมการมีขนาดสั้นลง ดังตัวอย่าง
|
ตัวอย่างที่ 6.1 จงหาค่าของ Y จากสมการ 
ตัวอย่างที่ 6.2 จงหาค่าของ Y จากสมการ 
ตัวอย่างที่ 6.3 จงหาค่าของ Y จากสมการ 
|
6.3 การพิสูจน์ทฤษฎีของบูลีน
การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตของบูลีน สามารถทำได้หลายวิธี แต่วิธีที่ง่ายและเห็นได้ชัดเจนที่สุด คือ การพิสูจน์โดยใช้ตารางความจริง
(Truth table) ดังจะยกตัวอย่างเพื่อพิสูจน์ให้ดูดังนี้
6.3.1 จงพิสูจน์ว่า A + A.B = A
|
A
|
B
|
AB
|
A+AB
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.4
|
6.3.2 จงพิสูจน์ว่า 
A
|
B
|
|
|
|
A+B
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.5
|
6.3.3 จงพิสูจน์ว่า 
A
|
B
|
A+B
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
ตารางที่ 6.6
|
6.3.4 จงพิสูจน์ว่า 
A
|
B
|
A.B
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
ตารางที่ 6.7
|
ตัวอย่างที่ 6.4 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า 
วิธีทำ
A
|
B
|
|
|
|
 |
 |
A+B
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
ตารางที่ 6.8
|
ตัวอย่างที่ 6.5 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า 
วิธีทำ
A
|
B
|
|
|
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
ตารางที่ 6.9
|
ตัวอย่างที่ 6.6 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า 
วิธีทำ
A
|
B
|
C
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.10
|
ตัวอย่างที่ 6.7 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า 
วิธีทำ
A
|
B
|
C
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
ตารางที่ 6.11
|
6.4 การลดรูป Switching Function โดยใช้ทฤษฎีของบูลีน
การออกแบบวงจรลอจิกจาก Switching Function ใดๆ ก็ตาม เราจำเป็นที่จะต้องลดรูป Switching Function นั้นๆ
ให้น้อยที่สุดเสียก่อนทั้งนี้ก็เพื่อวัตถุประสงค์ในความประหยัด และข้อสำคัญอีกประการหนึ่งก็คือลดเวลาการหน่วง (Delay Time)
ให้น้อยที่สุด ดังนั้น Switching Function ที่ยาวมากๆ เราก็ต้องทำการลดรูปให้สั้นลง ซึ่งเทคนิคการลดรูปวิธีหนึ่งที่นิยมใช้กันอย่าง
แพร่หลายก็คือ ใช้ทฤษฏีของบูลีน
เนื่องจากเราสามารถใช้กฎของพีชคณิตบูลีนลดรูปสมการพีชคณิตบูลีน(หรือสมการลอจิก) ที่มีความยาวมาก ๆ ให้สั้นลงได้
ทำให้เกิดผลดีอย่างมากมาย กับการออกแบบวงจรลอจิกที่ประกอบไปด้วยการทำงานของเกตชนิดต่างๆ เพราะสมการบูลีนนั้นมีความ
สัมพันธ์กับการกระทำของเกตต่างๆ ในวงจรลอจิก และสามารถเขียนวงจรลอจิกแทนตัวกระทำต่างๆ ในสมการบูลีนได้ ดังนั้น แทนที่
เราจะต้องเสียทุน และเวลาในการออกแบบวงจรลอจิกให้มีขนาดเล็กลงเราก็กลับมาใช้พีชคณิตบูลีนลดรูปสมการของวงจรลอจิกนั้นเสียก่อน
แล้วจึงนำเอาสมการที่ลดรูปให้เล็กลงไปประกอบเป็นวงจรลอจิกที่เล็กลงได้อีกครั้งหนึ่ง
|
ตัวอย่างที่ 6.8 จงลดรูป Switching Function จากสมการ 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.9 จงลดรูป Switching Function จากสมการ 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.10 จงลดรูป Switching Function จากสมการ 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.11 จงลดรูป 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.12 จงลดรูป 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.13 จงลดรูป 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.14 จงลดรูป 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.15 จงลดรูป 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.16 จากสมการ  จงลดรูปสมการให้สั้นที่สุด
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.17 จากสมการ  จงลดรูปสมการให้สั้นที่สุด
วิธีทำ
|
6.5 ทฤษฎีของดี.มอร์แกน
ทฤษฎีของดี.มอร์แกนเป็นทฤษฎีที่ใช้ประโยชน์ในการแก้ปัญหาของพีชคณิตบูลีน กรณีที่สมการของตัวแปรใดๆ ภายใต้เครื่องหมาย
AND และ OR ซึ่งสามารถเปลี่ยนกลับจากเครื่องหมาย AND เป็น OR และเปลี่ยนสมการภายใต้เครื่องหมาย OR เป็น ANDได้ ขอให้
พิจารณา 2 สมการต่อไปนี้
|
 (สมการเปลี่ยนจาก AND เป็น OR)
 (สมการเปลี่ยนจาก OR เป็น AND)
หลักการใช้ทฤษฎีของดี.มอร์แกน เปลี่ยนสมการพีชคณิตบูลีนตัวแปรใดๆต้องกระทำตามขั้นตอนต่อไปนี้
1. Complement function (โดยการใส่เครื่องหมาย NOT ตลอดทั้งฟังก์ชัน)
2. Change operator (เปลี่ยนตัวกระทำ AND เป็น OR และ OR เป็น AND)
3. Complement variable (ใส่เครื่องหมาย NOT ทีตัวแปร)
|
ตัวอย่างที่ 6.18 จงใช้ทฤษฎีของดี.มอร์แกน เปลี่ยนรูปสมการดังนี้  และ 
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.19 จงใช้ทฤษฎีของดี.มอร์แกน เปลี่ยนรูปสมการดังนี้
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.20 จงใช ้ทฤษฎีของดี.มอร์แกน ลดรูปสมการต่อไปนี้
วิธีทำ
ตัวอย่างที่ 6.21 จงใช้ทฤษฎีของดี.มอร์แกน เปลี่ยนรูปสมการดังนี้ 
วิธีทำ
<< G o To Top
|
6.6 สมการ SOP (Sum Of Product) และ POS (Product Of Sum)
ตารางความจริง (Truth table) คือ ตารางแสดงการกระทำของตัวกระทำ กับตัวแปรใดๆของสมการบูลีน เช่น
สมการ  ก็หมายถึง  ซึ่งตัวแปร A, B, C กระทำการ AND, OR หรือ NOT
เป็นต้น ซึ่งเราสามารถจะแทนค่าคงที่ (0 หรือ 1) แทนในตัวแปร A, B หรือ C เราก็สามารถบอกได้ว่า Y หรือ
นั้นมีค่าเท่าใดและการแทนค่าคงที่ดังกล่าวลงในตัวแปร A, B, C นั้นก็กระทำกันได้ 8 ครั้งเท่ากับจำนวนบรรทัดของตารางความจริง
เนื่องจากจำนวนบรรทัดของตารางความจริง คือ 2 ตัวแปร เช่น ถ้าวงจรลอจิกมีตัวแปรเพียง 2 ตัวแปร จำนวนบรรทัดของตาราง
ความจริงคือ 22 = 4 บรรทัด หรือกรณีวงจรลอจิกมี ตัวเเปร 3 ตัวแปรจะมีจำนวนบรรทัดของตารางความจริงเท่ากับ 23 บรรทัด
(8 บรรทัด) เป็นต้น
เมื่อพิจารณาสมการ  จะเขียนตารางความจริงของสมการได้ดังนี้
|
A
|
B
|
C
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
ตารางที่ 6.12 ตารางความจริง
|
จากตารางความจริงแสดงค่า  จะเห็นว่าค่าของ Y หรือ นั้นจะมีค่าเป็น 0 หรือ 1 ตาม
แต่การกระทำของตัวแปรในสมการ และค่าของ นี้ก็คือเอาต์พุตของสมการ นั่นเอง อาจเขียนตารางความ
จริงใหม่ให้มีรูปแบบที่ชัดเจนขึ้นดังน
|
|
จากตารางความจริง สามารถถอดความสัมพันธ์ในตารางออกมา เป็นสมการพีชคณิตบูลีนได้เช่นเดียวกัน วิธีแรก
คือ ให้พิจารณาเอาต์พุตที่เป็น 1 ของตารางความจริง และเขียนเทอมของตัวแปร A, B, C ออกมาทีละเทอม โดยแทนค่าตัวแปรที่เป็น
0 ด้วย  หรือ  และตัวแปรที่เป็น 1 ด้วย A, B หรือ C ตัวแปรแต่ละตัวกระทำการ AND ก่อน และนำเทอมของตัวแปรแต่
ละเทอมที่เขียนได้จากเอาต์พุตที่เป็น 1 ทั้งหมดมากระทำการ OR กัน ซึ่งวิธีการดังกล่าวเรียกว่าวิธีเขียนสมการแบบ SOP
(Sum Of Product)
|
6.6.1 สมการแบบ SOP (Sum Of Product) หรือสมการแบบ Minterm
จากตารางความจริงสามารถเขียนสมการ SOP ได้ว่า
ซึ่งสมการที่เขียนได้นี้จะมีค่าเท่ากับสมการ สามารถพิสูจน์ได้ว่าเท่ากันจริงโดยถอดสมการ SOP ที่ได้
ไห้สมการลดลงโดยใช้พีชคณิตบูลีนช่วยในการลดรูปสมการดังต่อไปนี้
เราจะเห็นถึงความสัมพันธ์ของตารางความจริงกับสมการพีชคณิตบูลีนว่าคุณสามารถเขียนสมการพีชคณิตบูลีนมาจากตาราง
ความจริงได้และในทางกลับกันเราสามารถเขียนตารางความจริงจากสมการพีชคณิตบูลีนได้เช่นกัน
|
ตัวอย่างที่ 6.22 จากตารางความจริงต่อไปนี้ จงเขียนสมการพีชคณิตบูลีนแบบ SOP และลดรูปสมการโดยวิธีใช้กฎของพีชคณิตบูลีน
ตารางที่ 6.14
|
6.6.2 สมการแบบ POS (Product Of Sum) หรือสมการแบบ Maxterm
รูปแบบสมการแบบ POS จะตรงข้ามกับสมการแบบ SOP ตั้งแต่การพิจารณาเอาต์พุต การ เขียนตัวแปรแต่ละตัว
และการติดเครื่องหมาย NOTที่ตัวแปรเหล่านั้น สรุปวิธีการเขียนสมการ POS คือ ต้องนำเทอมของเอาต์พุตที่มีผลลัพธ์เป็น
0 มาเขียน โดยกำหนดตัวแปรที่มีค่าเป็น 0 แทนด้วย A, Bหรือ C และตัวแปรที่มีค่าเป็น 1 แทนด้วย A, B หรือ C กระทำการ
OR กัน แลวนาผลลัพธ์ของการ OR ทุกๆ เทอมที่เป็น 0 นำมา AND กัน ก็จะได้สมการ POS พิจารณาตารางความจริงต่อไปนี้
|
ตารางที่ 6.15
จากตารางความจริงนำมาเขียนสมการ POS ได้ว่า
|
จากผลการลดรูปสมการ POS จะเห็นว่า ให้ผลลัพธ์เท่ากันกับการถอดสมการแบบ SOP จากตารางความจริง
ดังนั้นเราจะใช้วิธีถอดสมการแบบใดก็ได้ขึ้นอยู่กับความเหมาะสมของเอาต์พุตตารางความจริง เช่น ถ้าเอาต์พุตมี “0” มากกว่า“1”
เราก็ควรใช้วิธี SOP หรือถ้าเอาต์พุตมี “1” มาก กว่า “0” ก็อาจใช้วิธี POS เป็นต้นเพื่อให้สมการที่ถอดได้ไม่ยาวมากเกินไป การใช้
้ สมการพีชคณิตบูลีนลดรูปสมการจะผิดพลาดน้อยลง
|
6.6.3 การใช้ตัวเลขแทนสมการ SOP
เราสามารถเขียนสมการตัวเลขแทนสมการ SOP ได้โดยกำหนดเครื่องหมาย เข้ากับกลุ่มตัวเลขประจำบรรทัด ของ
ตารางความจริงในช่องที่มีเอาต์พุตเป็น 1 ตัวอย่างเช่น สมการ 
จะเห็นว่าเป็นสมการ SOP ซึ่งมี 4 ตัวแปร A, B, C, D และเอาต์พุตของสมการนี้จะเป็น 1 อยู่ 4 บรรทัด คือ (1) บรรทัดที่ ABCD = 0,
(2) บรรทัดที่ AB = 0,CD =1 (3) บรรทัดที่ AC = 0, BD = 1 และ (4) บรรทัดที่ ABD = 1 และC = 0 วิธีเขียนตัวเลขแทนสมการให้ทำดังนี้
|
ตัวอย่างที่ 6.23 ถ้า  จงเขียนสมการ SOP
|
6.6.4 การใช้ตัวเลขแทนสมการ POS
ในสมการแบบ SOP นั้นตัวเลขที่แทนสมการ คือ จำนวนบรรทัดแต่ละบรรทัดที่มีเอาต์พุตเป็น “1” นำมารวมกันภายใต้เครื่องหมาย
 เช่น  เป็นต้น แต่สมการแบบ POS นั้นจะนับเอาค่าตัวเลขเฉพาะบรรทัดที่มีเอาต์พุตเป็น “0” มาเขียน
รวมกันภายใต้เครื่องหมาย  เช่น  เป็นต้น และต้องอย่าลืมว่าในสมการแบบ POS นั้น ตัวแปรแต่ละตัว
ต้องเป็น NOT เมื่อค่าคงที่ของตัวมันเป็น “1” และแต่ละบรรทัดที่เอาต์พุตเป็น “0” ต้องนำเอาตัวแปรทุกตัวมากระทำการ OR กัน
|
ตัวอย่างที่ 6.24 สมการ จงเขียนสมการในรูปตัวเลขแบบ POS
ตัวอย่างที่ 6.25 ถ้า  เขียนสมการ POS
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น