ระบบควบคุมพีไอดี

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (อังกฤษ: PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ

แผนภาพบล็อกของการควบคุมแบบพีไอดี

วิธีคำนวณของ PID ขึ้นอยู่กับสามตัวแปรคือค่าสัดส่วน, ปริพันธ์ และ อนุพันธ์ ค่าสัดส่วนกำหนดจากผลของความผิดพลาดในปัจจุบัน, ค่าปริพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของผลรวมความผิดพลาดที่ซึ่งพึ่งผ่านพ้นไป, และค่าอนุพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าความผิดพลาด น้ำหนักที่เกิดจากการรวมกันของทั้งสามนี้จะใช้ในการปรับกระบวนการ

โดยการปรับค่าคงที่ใน PID ตัวควบคุมสามารถปรับรูปแบบการควบคุมให้เหมาะกับที่กระบวนการต้องการได้ การตอบสนองของตัวควบคุมจะอยู่ในรูปของการไหวตัวของตัวควบคุมจนถึงค่าความผิดพลาด ค่าโอเวอร์ชูต (overshoots) และ ค่าแกว่งของระบบ (oscillation) วิธี PID ไม่รับประกันได้ว่าจะเป็นระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหรือสามารถทำให้กระบวนการมีความเสถียรแน่นอน

การประยุกต์ใช้งานบางครั้งอาจใช้เพียงหนึ่งถึงสองรูปแบบ ขึ้นอยู่กับกระบวนการเป็นสำคัญ พีไอดีบางครั้งจะถูกเรียกว่าการควบคุมแบบ PI, PD, P หรือ I ขึ้นอยู่กับว่าใช้รูปแบบใดบ้าทฤษฎี

การควบคุมแบบ PID ได้ชื่อตามการรวมกันของเทอมของตัวแปรทั้งสามตามสมการ:

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =\,P_{\mathrm {out} }+I_{\mathrm {out} }+D_{\mathrm {out} }}$

เมื่อ

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$, ${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$, และ ${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$ เป็นผลของสัญญาณขาออกจากระบบควบคุม PID จากแต่ละเทอมซึ่งนิยามตามรายละเอียดด้านล่าง

สัดส่วน
Proportinal control action (P - Action) 

กราฟ PV ต่อเวลา, K_p กำหนดเป็น 3 ค่า(K_i และ K_d คงที่)

เทอมของสัดส่วน (บางครั้งเรียก อัตราขยาย) จะเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนของค่าความผิดพลาด การตอบสนองของสัดส่วนสามารถทำได้โดยการคูณค่าความผิดพลาดด้วยค่าคงที่ K_p, หรือที่เรียกว่าอัตราขยายสัดส่วน

เทอมของสัดส่วนจะเป็นไปตามสมการ:

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}}$

เมื่อ

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$: สัญญาณขาออกของเทอมสัดส่วน

${\displaystyle K_{p}}$: อัตราขยายสัดส่วน, ตัวแปรปรับค่าได้

${\displaystyle e}$: ค่าความผิดพลาด ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle t}$: เวลา

ผลอัตราขยายสัดส่วนที่สูงค่าความผิดพลาดก็จะเปลี่ยนแปลงมากเช่นกัน แต่ถ้าสูงเกินไประบบจะไม่เสถียรได้ ในทางตรงกันข้าม ผลอัตราขยายสัดส่วนที่ต่ำ ระบบควบคุมจะมีผลตอบสนองต่อกระบวนการน้อยตามไปด้วย

ซึ่งก็คือ  การกำหนดการทำงานของ ouput ให้เป็นสัดส่วนเปอร์เซ็นกับค่า error

ปริพันธ์

Integral control action (I-Action) 

กราฟ PV ต่อเวลา, K_i กำหนดเป็นสามค่า (K_p และ K_d คงที่)

ผลจากเทอมปริพันธ์ (บางครั้งเรียก reset) เป็นสัดส่วนของขนาดความผิดพลาดและระยะเวลาของความผิดพลาด ผลรวมของความผิดพลาดในทุกช่วงเวลา (ปริพันธ์ของความผิดพลาด) จะให้ออฟเซตสะสมที่ควรจะเป็นในก่อนหน้า ความผิดพลาดสะสมจะถูกคูณโดยอัตราขยายปริพันธ์ ขนาดของผลของเทอมปริพันธ์จะกำหนดโดยอัตราขยายปริพันธ์, ${\displaystyle K_{i}}$.

เทอมปริพันธ์จะเป็นไปตามสมการ:

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }}$

เมื่อ

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$: สัญญาณขาออกของเทอมปริพันธ์

${\displaystyle K_{i}}$: อัตราขยายปริพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

${\displaystyle e}$: ความผิดพลาด ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle t}$: เวลา

${\displaystyle \tau }$: ตัวแปรปริพันธ์หุ่น

เทอมปริพันธ์ (เมื่อรวมกับเทอมสัดส่วน) จะเร่งกระบวนการให้เข้าสู่จุดที่ต้องการและขจัดความผิดพลาดที่เหลืออยู่ที่เกิดจากการใช้เพียงเทอมสัดส่วน แต่อย่างไรก็ตาม เทอมปริพันธ์เป็นการตอบสนองต่อความผิดพลาดสะสมในอดีต จึงสามารถทำให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ (ข้ามจุดที่ต้องการและเกิดการหันเหไปทางทิศทางอื่น)
ซึ่งก็คือ สัดส่วนของขนาดความผิดพลาดและระยะเวลาของความผิดพลาด

อนุพันธ์

Derivative control action (D-Action) 

กราฟ PV ต่อเวลา, สำหรับ K_d 3 ค่า (K_p และ K_i คงที่)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดจากกระบวนการนั้นคำนวณหาจากความชันของความผิดพลาดทุกๆเวลา (นั่นคือ เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งสัมพันธ์กับเวลา) และคูณด้วยอัตราขยายอนุพันธ์ ${\displaystyle K_{d}}$ ขนาดของผลของเทอมอนุพันธ์ (บางครั้งเรียก อัตรา) ขึ้นกับ อัตราขยายอนุพันธ์ ${\displaystyle K_{d}}$

เทอมอนุพันธ์เป็นไปตามสมการ:

${\displaystyle D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

เมื่อ

${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$: สัญญาณขาออกของเทอมอนุพันธ์

${\displaystyle K_{d}}$: อัตราขยายอนุพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

${\displaystyle e}$: ความผิดพลาด ${\displaystyle =SP-PV}$

${\displaystyle t}$: เวลา

เทอมอนุพันธ์จะชะลออัตราการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณขาออกของระบบควบคุมและด้วยผลนี้จะช่วยให้ระบบควบคุมเข้าสู่จุดที่ต้องการ ดังนั้นเทอมอนุพันธ์จะใช้ในการลดขนาดของโอเวอร์ชูตที่เกิดจาเทอมปริพันธ์และทำให้เสถียรภาพของการรวมกันของระบบควบคุมดีขึ้น แต่อย่างไรก็ตามอนุพันธ์ของสัญญาณรบกวนที่ถูกขยายในระบบควบคุมจะไวมากต่อการรบกวนในเทอมของความผิดพลาดและสามารถทำให้กระบวนการไม่เสถียรได้ถ้าสัญญาณรบกวนและอัตราขยายอนุพันธ์มีขนาดใหญ่เพียงพอ
ซึ่งก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาด การรบกวนระบบจากภายนอ

ผลรวม

เทอมสัดส่วน, ปริพันธ์, และอนุพันธ์ จะนำมารวมกันเป็นสัญญาณขาออกของการควบคุมแบบ PID กำหนดให้ ${\displaystyle u(t)}$ เป็นสัญญาณขาออก สมการสุดท้ายของวิธี PID คือ:

${\displaystyle \mathrm {u(t)} =\mathrm {MV(t)} =K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

รหัสเทียม

รหัสเทียม (อังกฤษ: pseudocode) ของ ขั้นตอนวิธีระบบควบคุมพีไอดี โดยอยู่บนสมมุติฐานว่าตัวประมวลผลประมวลผลแบบขนานอย่างสมบูรณ์แบบ เป็นดังต่อไปนี้

previous_error = setpoint - actual_position
integral = 0
start:
  error = setpoint - actual_position
  integral = integral + (error*dt)
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = (Kp*error) + (Ki*integral) + (Kd*derivative)
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

การปรับจูน[แก้]

การปรับจูนด้วยมือ

ถ้าระบบยังคงทำงาน ขั้นแรกให้ตั้งค่า ${\displaystyle K_{i}}$ และ ${\displaystyle K_{d}}$ เป็นศูนย์ เพิ่มค่า ${\displaystyle K_{p}}$ จนกระทั่งสัญญาณขาออกเกิดการแกว่ง (oscillate) แล้วตั้งค่า ${\displaystyle K_{p}}$ ให้เหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่ทำให้เกิดการแกว่งสำหรับการตอบสนองชนิด "quarter amplitude decay" แล้วเพิ่ม ${\displaystyle K_{i}}$ จนกระทั่งออฟเซตถูกต้องในเวลาที่พอเพียงของกระบวนการ แต่ถ้า ${\displaystyle K_{i}}$ มากไปจะทำให้ไม่เสถียร สุดท้ายถ้าต้องการ ให้เพิ่มค่า ${\displaystyle K_{d}}$ จนกระทั่งลูปอยู่ในระดับที่ยอมรับได้ แต่ถ้า ${\displaystyle K_{d}}$ มากเกินไปจะเป็นเหตุให้การตอบสนองและโอเวอร์ชูตเกินยอมรับได้ ปกติการปรับจูน PID ถ้าเกิดโอเวอร์ชูตเล็กน้อยจะช่วยให้เข้าสู่จุดที่ต้องการเร็วขึ้น แต่ในบางระบบไม่สามารถยอมให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ และถ้าค่า ${\displaystyle K_{p}}$ น้อยเกินไปก็จะทำให้เกิดการแกว่ง

ผลของการเพิ่มค่าตัวแปรอย่างอิสระ

ตัวแปร	ช่วงเวลาขึ้น (Rise time)	โอเวอร์ชูต (Overshoot)	เวลาสู่สมดุล (Settling time)	ความผิดพลาดสถานะคงตัว (Steady-state error)	เสถียรภาพ[1]
${\displaystyle K_{p}}$	ลด	เพิ่ม	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลด	ลด
${\displaystyle K_{i}}$	ลด[2]	เพิ่ม	เพิ่ม	ลดลงอย่างมีนัยสำคัญ	ลด
${\displaystyle K_{d}}$	ลดลงเล็กน้อย	ลดลงเล็กน้อย	ลดลงเล็กน้อย	ตามทฤษฏีไม่มีผล	ดีขึ้นถ้า ${\displaystyle K_{d}}$ มีค่าน้อย

วิธีการ Ziegler–Nichols

วิธีการนี้นำเสนอโดย John G. Ziegler และ Nathaniel B. Nichols ในคริสต์ทศวรรษที่ 1940 ขั้นแรกให้ตั้งค่า ${\displaystyle K_{i}}$ และ ${\displaystyle K_{d}}$ เป็นศูนย์ เพิ่มอัตราขยาย P สูงที่สุด, ${\displaystyle K_{u}}$, จนกระทั่งเริ่มเกิดการแกว่ง นำค่า ${\displaystyle K_{u}}$ และค่าช่วงการแกว่ง ${\displaystyle P_{u}}$ มาหาค่าตัวแปรที่เหลือดังตาราง:

Ziegler–Nichols method

Control Type	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle K_{i}}$	${\displaystyle K_{d}}$
P	${\displaystyle 0.50{K_{u}}}$	-	-
PI	${\displaystyle 0.45{K_{u}}}$	${\displaystyle 1.2{K_{p}}/P_{u}}$	-
PID	${\displaystyle 0.60{K_{u}}}$	${\displaystyle 2{K_{p}}/P_{u}}$	${\displaystyle {K_{p}}{P_{u}}/8}$