บทที่ 3 แนวคิดทางลอจิก

             การที่จะศึกษาทำความเข้าใจและการประยุกต์ใช้งาน PLC เราจะต้องมีพื้นฐานความเข้าใจเกี่ยวกับแนวคิดต่างๆทางลอจิกบ้าง ซึ่งในบทนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชั่นทางลอจิกต่างๆ เช่น ฟังก์ชั่น AND ,OR และ NOT และจะแสดงให้เห็นว่า เพียงแค่เรามีฟังก์ชั่นพื้นฐานแค่ 3 ตัว เราจะสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการควบคุมตั้งแต่ระดับง่าย จนกระทั่งถึงระดับซับซ้อน และเราจะแนะนำให้รู้จักกับพื้นฐานของพีชคณิตบูลลีน และการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง สุดท้ายจะอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างพีชคณิตบูลลีนและสัญลักษณ์ของหน้าสัมผัส (Contact) ต่างๆ

3.1 แนวคิดทางไบนารี่

แนวความคิดทางไบนารี่นี้ไม่ใช่ของใหม่ แต่ความเป็นจริงเป็นหลักการที่ค่อนข้างที่จะเก่าแก่ ซึ่งเป็นหลักการที่เกี่ยวข้องกับสถานะของอุปกรณ์ เช่น หลอดไฟเปิดหรือปิด สวิทช์เปิดหรือปิด มอเตอร์เปิดหรือปิด เป็นต้น ถ้าเป็นในระบบดิจิตอล หมายถึง มีสัญญาณหรือไม่มีสัญญาณ ถูกกระตุ้นหรือไม่ถูกกระตุ้น สถานะสูงหรือต่ำ (Hight or Low) หรือกระบวนการที่มี 2 สถานะให้เราตัดสินใจ ในการแสดงสถานะของกระบวนการเหล่านี้ทางระบบ PLC หรือระบบคอมพิวเตอร์จะนำระบบตัวเลขไบนารี่มาใช้

ดังนั้นโดยทั่วๆไปจะใช้สัญลักษณ์ 1 แทนความหมายว่า มีสัญญาณ (หรือเกิดบางสิ่งบางอย่างขึ้น) และ 0 แทนความหมายว่าไม่มีสัญญาณ (หรือไม่มีอะไรเกิดขึ้น)

ในระบบดิจิตอล การแสดงสถานะ 2 สถานะจะแสดงด้วยแรงดันไฟฟ้า 2 ระดับที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน นั่นคือ +V กับ 0 โวลต์ โดยแรงดันหนึ่งจะเป็นแรงดันบวกหรือสูงกว่าแรงดันหนึ่ง เมื่อแสดงในระบบตัวเลขไบนารี่จะมีค่าลอจิกเป็น 1 (True ,On ,Hight) ส่วนแรงดันที่ต่ำกว่าจะแสดงค่าลอจิกที่ 0 (False , OFF, LOW)

ตารางที่ 3.1 แนวคิดไบนารี่โดยการใช้ Positive Logic

1 (+V)	0 ( 0 V)	ตัวอย่าง
ดำเนินการ	ไม่ดำเนินการ	ลิมิตสวิทช์
มีเสียงกระดิ่ง	ไม่มีเสียงกระดิ่ง	กระดิ่ง
เปิด	ปิด	หลอดไฟ
มีเสียงแตร	ไม่มีเสียงแตร	แตร
มอเตอร์ทำงาน	มอเตอร์ไม่ทำงาน	มอเตอร์
ว่าง	ไม่ว่าง	คลัทช์รถยนต์

โปรดสังเกตว่า ในตารางที่ 3.1 ในส่วนที่มีแรงดันมากกว่าคือลอจิก 1 และส่วนที่มีแรงดันน้อยกว่า คือ ลอจิก 0 เมื่อใช้ลอจิก 1 ให้มีความหมายว่าเกิดเหตุการณ์ ลอจิก 0 ไม่เกิดเหตุการณ์ เราจะเรียก 1 ว่า Positive Logic

แต่ถ้า เมื่อใช้ลอจิก 1 ให้มีความหมายว่าไม่เกิดเหตุการณ์ ลอจิก 0 เกิดเหตุการณ์ เราจะเรียก 1 ว่า Negative Logic ดังตารางที่ 3.2

ตารางที่ 3.2 แนวคิดไบนารี่โดยการใช้ Negative Logic

1 (+V)	0 ( 0 V)	ตัวอย่าง
ไม่ดำเนินการ	ดำเนินการ	ลิมิตสวิทช์
ไม่มีเสียงกระดิ่ง	มีเสียงกระดิ่ง	กระดิ่ง
ปิด	เปิด	หลอดไฟ
ไม่มีเสียงแตร	มีเสียงแตร	แตร
มอเตอร์ไม่ทำงาน	มอเตอร์ทำงาน	มอเตอร์
ไม่ว่าง	ว่าง	คลัทช์รถยนต์

3.2 ฟังก์ชั่นทางลอจิก

การดำเนินการของอุปกรณ์ทางดิจิตอล เช่น PLC จะมีพื้นฐานมาจากฟังก์ชั่นทางลอจิกมูลฐาน เช่น AND ,OR และ NOT ซึ่งฟังก์ชั่นเหล่านี้จะทำการดำเนินการกับตัวแปรไบนารี่ต่างๆในรูปแบบของ Statement โดยแต่ละฟังก์ชั่นจะมีหลักเกณฑ์และสัญลักษณ์ต่างๆที่จะให้ผลลัพธ์ว่าจะให้มีลอจิกออกมาเป็นเช่นใด(True or False) โดยผลลัพธ์ของ Statement เรียกว่าเอ้าท์พุต (Y) และเงื่อนไขต่างๆของ Statement เรียกว่า อินพุต (A และ B) โดยทั้งอินพุตและเอ้าท์พุตเป็นตัวแปรที่แสดงทั้งสองสถานะ 

แอนด์เกต (AND Gate)

        แอนด์ เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป แอนด์เกตคือเกตที่ให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 1 เมื่อสัญญาณอินพุตทุกตัวเป็น 1 และจะให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 0 เมื่อสัญญาณอินพุตตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ซึ่งเปรียบเสมือนกันคูณกันของอินพุต โดยตารางค่าความจริง (Truth Table) และสัญลักษณ์ของแอนด์เกตจะเป็นดังรูป

ออร์เกต (OR Gate)

        เป็น เกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป ออร์เกตคือเกตที่ให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 0 เมื่อสัญญาณอินพุตทุกตัวเป็น 0 และจะให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 1 เมื่อสัญญาณอินพุตตัวใดตัวหนึ่งเป็น 1 ซึ่งเปรียบเสมือนกันบวกกันของอินพุต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของออร์เกตจะเป็นดังรูป

นอตเกต (NOT Gate)

        เป็นเกตที่มีอินพุตเดียว โดยเอาต์พุตของนอตเกตจะมีค่าตรงกันข้ามกับอินพุต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของนอตเกตจะเป็นดังรูป

แนนด์เกต (NAND Gate)

        เป็น เกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของแนนด์เกต คือการคูณกันของสัญญาณอินพุต จากนั้นกลับบิตของสัญญาณเอาต์พุตเป็นตรงกันข้าม แนนด์เกตเปรียบเสมือนเอาแอนด์เกตมาต่อกับนอตเกต ซึ่งค่าเอาต์พุตที่ได้จะตรงข้ามกับแอนด์เกต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของแนนด์เกตจะเป็นดังรูป

นอร์เกต (NOR Gate)

        เป็น เกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของนอร์เกต เอาต์พุตของนอร์เกต คือการบวกกันของสัญญาณอินพุต จากนั้นกลับบิตของสัญญาณเอาต์พุตเป็นตรงกันข้าม เปรียบเสมือนกับการเอาออร์เกตมาต่อกับน็อตเกต ซึ่งค่าเอาต์พุตที่ได้จะตรงข้ามกับออร์เกต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของนอร์เกตจะเป็นดังรูป

เอ็กซ์คลูซีพออร์เกตหรือออร์เกตเฉพาะ (eXclusive-OR Gate : XOR)

        เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของเอ็กซ์คลูซีพออร์เกต สังเกตจากการดูค่าอินพุต ถ้าอินพุตเหมือนกันจะเป็น 0 ถ้าอินพุตต่างกันจะเป็น 1 โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของเอ็กซ์คลูซีพออร์เกตจะเป็นดังรูป

พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra)

        พีชคณิต บูลีนเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการวิเคราะห์และออกแบบวงจรตรรกะ ที่ใช้ในการลดสมการหรือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากการออกแบบวงจรตรรกะใดๆ เราจำเป็นต้องลดรูปวงจรตรรกะนั้นให้ได้น้อยที่สุด แต่สามารถทำงานได้เช่นเดิม เพื่อให้การออกแบบวงจรตรรกะคุ้มค่าทั้งราคา ความเร็วและประสิทธิภาพ ซึ่งจะทำให้เราสามารถออกแบบวงจรตรรกะได้อย่างมีประสิทธิภาพ ความสัมพันธ์ของตัวแปรเราจะใช้เครื่องหมาย “+” แทนความหมาย OR เครื่องหมาย “.” แทนความหมาย AND และเครื่องหมาย “—” แทนความหมาย NOT หรือเรียกว่าเครื่องหมายบาร์

ทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน

¢  ทฤษฎีบทที่ 1         กฎการสลับที่ (Commutative  Law)

                                (a)          A+B                        =             B+A

                                (b)          A.B                         =             B.A

¢  ทฤษฎีบทที่ 2         กฎการจัดหมู่ (Associative  Law)

                                (a)          A + ( B+C )           =             ( A+B ) + C

                                (b)          A . ( B.C )              =             ( A.B ).C

¢  ทฤษฎีบทที่ 3         กฎการกระจาย (Distributive  Law)

                                (a)          A + ( B.C )            =             ( A + B ) . ( A + C )

                                (b)          A . ( B+C )            =             A. B + A.C

¢  ทฤษฎีบทที่ 4         กฎของเอกลักษณ์ (Identity  Law)

                                (a)          A + A                     =             A

                                (b)          A . A                       =             A

¢   ทฤษฎีบทที่ 5        กฎการนิเสธ (Negation  Law)

                                (a)                                          =      

  

                                (b)                                          =             A

¢  ทฤษฎีบทที่ 6         กฎการลดทอน (Redundance  Law)

                                (a)          A + A.B                 =             A

                                (b)          A.( A + B )            =             A

¢  ทฤษฎีบทที่ 7

                                (a)          0 + A                     =             A

                                (b)          1 . A                      =             A

                                (c)           1 + A                     =             1

                                (d)          0 . A                      =             0

¢     ทฤษฎีบทที่ 8

                                (a)            + A                       =             1

                                (b)           . A                          =             0

¢  ทฤษฎีบทที่ 9

                                (a)          A +      .B               =             A + B

                                (b)          A. (      +B )           =             A.B

¢  ทฤษฎีบทที่ 10       ทฤษฎีของเดอร์มอร์แกน ( De Morgan “s Theorem )

                                (a)           

                 

                                (b)                        

   

การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน

        การ พิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลี มีกระบวนการหลายวิธีดังเช่นการสร้างวงจรทางตรรกะ หรือการใช้ตารางความจริงพิสูจน์ การสร้างวงจรทางตรรกะเป็นการสร้างวงจรจริงในการตรวจหาคำตอบ ซึ่งจะกล่าวถึงในเนื้อหาส่วนถัดไป การพิสูจน์โดยใช้ตารางความจริง (Truth Table) ซึ่งเป็นวิธีการที่ง่ายในการตรวจสอบ การตรวจสอบจะใช้หลักการของวงจรตรรกะแต่ละตัว

ตัวอย่างที่ 8.1 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า A+AB=A

วิธีทำ  

การเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้น (Basic of Logic Circuit Design)

        ในการเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้นจะเขียนตามการกระทำของวงจรตรรกะนั้น โดยเทอมที่คูณกันจะใช้ แอนด์เกต (AND Gate) เทอมที่ทำการบวกกันจะใช้ออร์เกต (OR Gate) เทอม ที่อยู่ในวงเล็บเดียวกันจะใช้เกตตามชนิดของการกระทำในเทอมนั้น ในการเขียนวงจรตรรกะให้มีประสิทธิภาพนั้นหลักการคือเราจะต้องลดรูปโดยใช้ ทฤษฎีของบูลีน ทั้งนี้ก็เพื่อให้วงจรตรรกะที่เราต้องการมีจำนวนเกตน้อยที่สุดหรือมีการลง ทุนในการสร้างวงจรต่ำ นอกจากนี้ยังเป็นการลดเวลาในการทำงานของวงจร (Delay time) อีกด้วย