บทที่ 8 แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map : KM : K-map)

บทที่ 8 ::

แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map : KM : K-map)

<< 8.1 การดัดแปลงทฤษฎีบูลีนไปเป็นแผนผังคาร์โนห์
<< 8.2 การลดรูปฟังก์ชั่นโดยใช้ แผนผังคาร์โนห์
<< 8.3 เทอมไม่สนใจ (Don’t Care term)
<< 8.4 K-map ชนิด 6 ตัวแปร และ n ตัวแปร

 

การลดรูปสมการบูลีน หรือ ฟังก์ชัน ให้สั้นที่สุด เราสามารถทำได้โดยการใช้ทฤษฎีของบูลีน แต่เป็นการยากในกรณีที่มีหลายๆ ตัวแปร การใช้แผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh Map : KM : K-map) ช่วยในการแก้ปัญหาจะเป็นการง่ายกว่า และจะมีข้อผิดพลาด น้อยกว่า

8.1 การดัดแปลงทฤษฎีบูลีนไปเป็นแผนผังคาร์โนห์ พิจารณาการลดทอนสมการลอจิกโดยใช้ทฤษฎีบูลีนของสมการต่อไปนี้

ทั้ง 4 กรณีที่กล่าวถึงข้างต้น จะทำการลดทอนโดยใช้ทฤษฎีบูลีนโดยตรง ซึ่งสามารถดัดแปลงไปเป็น K-mapโดยมี หลักการดังนี้ 1. ต้องเป็นสมการลอจิกที่อยู่ในรูป Canonical Sum หรือ Canonical Product เท่านั้น 2. จำนวนเทอมในกลุ่มที่จะลดทอน = เมื่อ m = 1, 2, 3, 4, … ดังนั้นการลดทอนโดยวิธี K-map สมาชิกในกลุ่มต้องมี จำนวนเทอมเป็น 2, 4, 6, 8, 16, … เทอม 3. เขียนแทนแต่ละเทอมด้วยเลขฐานสอง พิจารณาเทอมคู่ที่มีเลขฐานสองต่างกันเพียงบิตเดียว สามารถทำการลดทอนได้โดย ตัดบิตที่ต่างกันออกบิตที่เหลือเปลี่ยนกลับไปเป็นตัวแปรจะได้สมการผลการลดทอน จาก 4 กรณีข้างต้นสามารถดัดแปลงวิธีการลดทอนใหม่ได้ดังนี้

8.2 การลดรูปฟังก์ชั่นโดยใช้ แผนผังคาร์โนห์ 8.2.1 K-map ชนิด 1 ตัวแปร เราสามารถทราบจำนวน Cell ของตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร ได้จากความสัมพันธ์ คือ โดยที่ n เป็นจำนวนตัวแปรนั่นแสดงว่าตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร จะมีจำนวน Cell เท่ากับ Cell แสดงดังรูปที่ 8.1

รูปที่ 8.1 แสดงตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร

ตัวอย่างตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร ในสภาวะมีค่าเอาต์พุตที่แตกต่างกันออกไป เราสามารถจำแนกออกได้ เป็น 4 ลักษณะด้วยกัน แสดงดังรูปที่ 8.2

รูปที่ 8.2 ตัวอย่างของตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร

จากรูปที่ 8.2 (ค) แสดงให้เห็นว่า ไม่สามารถทำการลดรูปฟังก์ชันให้ต่ำกว่านี้ได้อีก เนื่องจากในตาราง K-map มี “1” เพียงตัวเดียว และถูกวางอยู่ใน Cell 1 ซึ่งมีค่ากำกับตำแหน่งเท่ากับ “1” (A=1) ทำให้ผลลัพธ์ที่เราได้ คือ F = A แสดงดังรูปที่ 8.3

รูปที่ 8.3 ตัวอย่างแสดงการลดรูปฟังก์ชันด้วยตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร

จากรูปที่ 8.2 (ข) เราไม่สามารถทำการลดรูปฟังก์ชันนี้ได้อีกแล้ว เนื่องจากว่ามี “1” อยู่เพียงตัวเดียว โดยที่ “1” วางอยู่ใน Cell 0 มีค่ากำกับตำแหน่งเท่ากับ “0” (A = 0) ทำให้เราได้ผลลัพธ์จาก K-map นี้คือ แสดงดังรูปที่ 8.4

รูปที่ 8.4 ตัวอย่างแสดงการลดรูปด้วยตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร รูปที่ 8.5 ตัวอย่างแสดงการลดรูปด้วยตาราง K-map ชนิด 1 ตัวแปร

จากรูปที่ 8.5 จะประกอบด้วย Minterm = 1 จำนวน 2 ตัวด้วยกัน ซึ่งถูกวางอยู่ใน Cell 0 และ Cell 1 ในรูปที่ 8.5 แสดง ให้เห็นลักษณะของการวงรอบ 2 แบบเพื่อเปรียบเทียบกัน การลดรูปฟังก์ชันในรูปที่ 8.5 (ข) เป็นการวงรอบ Minterm 1 แยกกัน แล้วนำเอาค่าผลลัพธ์ที่ได้จาก 2 วงรอบ มาบวกกันตามรูปแบบ Canonical SOP ผลลัพธ์ที่เราได้ เกิดจากการนำเอาผลลัพธ์ทั้ง 2 วงรอบมาบวกกัน คือ ส่วนการลดรูปฟังก์ชันในลักษณะแสดงดังรูปที่ 8.5 (ค) เราสามารถสรุปได้โดยทันทีเลยว่าผลลัพธ์เท่ากับ “1” เพราะทุก Cell ของตาราง K-map มีค่า Minterm เป็น “1” ความแตกต่างของการลดรูปฟังก์ชันที่ยกขึ้นมาเปรียบเทียบให้เห็นดังรูปที่ 8.5(ข) และ 8.5(ค) ทำให้เราพบว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการลดรูปฟังก์ชันนั้น ไม่ได้สิ้นสุดอยู่ที่การใช้ตาราง K-map เพราะเราจะต้องนำผลลัพธ์ แต่ละวงรอบมาพิจารณา เพื่อจัดให้อยู่ในรูปแบบ Canonical SOP แต่การลดรูปฟังก์ชันดังแสดงในรูปที่ 8.5 (ค) เราจะได้ผลลัพธ์ การลดรูปโดยการใช้ตาราง K-map อย่างแท้จริง เพราะฉะนั้น การวงรอบ เราจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องวงรอบในครั้งหนึ่งๆ ให้สามารถ ครอบ- คลุม Minterm ได้จำนวนมากที่สุด และอยู่ในกฎการวงรอบที่ถูกต้อง

8.2.2 K-map ชนิด 2 ตัวแปร K-map ชนิด 2 ตัวแปรจะประกอบด้วยจำนวน Cell เท่ากับ 22 = 4 Cell พิจารณาตาราง K-map ชนิด 2 ตัวแปรได้ ดังรูปที่ 8.6

รูปที่ 8.6 ตารางแสดง K-map ชนิด 2 ตัวแปร

หลักการพิจารณาผลลัพธ์ของวงรอบ 1. การเปรียบเทียบค่าประจำตำแหน่งของ Cell พิจารณารูปที่ 8.7 จะเห็นว่ามี Minterm ที่เป็น “1” อยู่ใน Cell 0 และ Cell 1 เราจะทำการวงรอบ Minterm เหล่านี้เข้าด้วยกัน เสมือนเป็นการวงรอบ และ นั่นเอง ในการวงรอบทั้ง 2 Cell จะมีตัวแปร A ที่ถูกทำ Comple- -ment เหมือนกัน (มีเครื่องหมายบาร์)เป็นผลให้เราไม่สามารถตัดตัวแปร A ทิ้งได้ และอีกตัวแปรหนึ่งคือ B เราจะเห็นว่า ใน Cell 0 มีการ Complement ตัวแปร B อยู่ และไม่ถูก Complement ใน Cell 1 เพราะฉะนั้นเราจำเป็นต้องตัด ตัวแปร B ทิ้งไป ผลลัพธ์ที่เราได้จากการวงรอบในครั้งนี้คือ

รูปที่ 8.7 ตัวอย่างแสดงการลดรูปด้วยตาราง K-map ชนิด 2 ตัวแปร

2. การเปรียบเทียบค่ากำกับตำแหน่งของ K-map การพิจารณาผลลัพธ์ของการวงรอบมีหลักการง่ายๆ คือ ถ้าเมื่อไหร่ที่ค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปรในวงรอบนั้นๆ ต่างกัน เราสามารถตัดตัวแปรนั้นทิ้งไปได้เลย จากรูปที่ 8.8 (ก) หากเราพิจารณาไปที่ตัวแปร A จะเห็นว่า ค่ากำกับตำแหน่งของ ตัวแปร A มีค่าเป็น “0” ในส่วนของตัวแปร B จะเห็นว่ามีทั้งที่เป็น “0” และ “1” นั่นหมายความว่า วงรอบนี้ค่ากำกับ ตำแหน่งของตัวแปร B มีค่าไม่เท่ากันจึงต้องตัดตัวแปร B ทิ้งไป ผลลัพธ์ที่เราจะได้ คือ การที่ตัวแปร A ต้องมี เครื่องหมายบาร์ (Complement) เพราะว่าค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A มีค่าเป็น “0”

รูปที่ 8.8 ตัวอย่างแสดงการลดรูปด้วยตาราง K-map ชนิด 2 ตัวแปร

ขั้นตอนการลดรูปฟังก์ชัน 1. ให้พิจารณาว่า Minterm ของทุก Cell ในตาราง K-map มีค่าเป็ฯ “1” หรือ “0” หรือไม่ ถ้าหากในตาราง K-map มีค่าเป็น “1”ทุก Cell สามารถสรุปได้ทันทีว่า ผลลัพธ์ของการลดรูปฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ “1” และผลลัพธ์การลดรูปฟังก์ชัน จะมีค่าเป็น “0” ถ้าหากMinterm ในทุก Cell มีค่าเท่ากับ “0” 2. ถ้าค่า Minterm ในตาราง K-map ไม่ได้เป็น “0” และ “1” ทุก Cell เราจะต้องพิจารณาต่อไปว่า เราจะทำการวงรอบ อย่างไร เพื่อให้สามารถครอบคลุม Minterm ที่เป็น “1” ให้ได้มากที่สุด พิจารณาตัวอย่างการวงรอบ Minterm ที่เป็น “1” ดังรูปที่ 8.8 (ข)

รูปที่ 8.8 (ต่อ) การวงรอบ “1” ในครั้งแรก ทำให้เราได้ค่าเป็น ออกมา ซึ่งอาศัยหลักการพิจารณาดังที่ได้กล่าวมาแล้ว

3. เราได้ทำการวงรอบ “1” ไป 1 วงรอบแล้ว ต่อไปก็ให้พิจารณาต่อไปว่า ยังเหลือ Minterm ที่เป็น “1” อีกหรือไม่ สำหรับ ตัวอย่างที่ยกมาประกอบการอธิบาย ยังเหลือ “1” อยู่อีก 1 ตัว เพราะ ฉะนั้นเราจะต้องทำการวงรอบ MInterm ตัวที่เหลือ โดยการวงรอบร่วมกับ Minterm ที่ถูกวงรอบไปแล้วในครั้งแรก เพื่อต้องการให้ผลลัพธ์ของการลดรูปมีตัวแปรน้อยที่สุด แสดงดังรูปที่ 8.8 (ค) ผลการลดรูปในวงรอบที่ 2 โดยอาศัยการพิจารณาตามหลักการลดรูปฟังก์ชันในข้างต้น เราจะได้ผลลัพธ์ การลดรูป คือ B

รูปที่ 8.8 (ต่อ)

4. เมื่อเราได้ดำเนินการวงรอบ Minterm ที่เป็น “1” ในตาราง K-map คตรบทุกค่าแล้ว ต่อไปจะเป็นขั้นตอนของการนำเอาผลลัพธ์ ที่ได้จากการวงรอบทั้งสองครั้ง มาทำการบวกกัน เพื่อจัดให้อยู่ในรูปแบบ Canonical SOP จากการลดรูปฟังก์ชันทั้งสองครั้ง เราจะได้ ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ของการลดรูปฟังก์ชัน เราสามารถตรวจผลลัพธ์การลดรูปฟังก์ชันได้โดยใช้ตารางความ จริงหรือใช้ทฤษฎีของบูลีน

ข้อควรระวัง ลักษณะการวงรอบ Minterm “1” ที่ไม่ถูกต้อง แสดงดังรูปที่ 8.9 รูปที่ 8.9 ตัวอย่างการวงรอบที่ไม่ถูกต้องในขั้นต้น

ตัวอย่างที่ 8.1 การลดรูปฟังก์ชัน วิธีทำ สร้างตารางความจริงของฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 8.2 การลดรูปฟังก์ชัน วิธีทำ

8.2.3 K-map ชนิด 3 ตัวแปร ตาราง K-map ชนิด 3 ตัวแปรจะประกอบด้วยจำนวน Cell เท่ากับ Cell พิจารณาตาราง K-map ชนิด 3 ตัวแปรได้ดังรูปที่ 8.10

รูปที่ 8.10 รูปแบบของตาราง K-map ชนิด 3 ตัวแปร

รูปที่ 8.11 (ก) เป็นตัวอย่างตารางความจริงที่เรากำหนดค่าเอาต์พุต F ขึ้นมา เพื่อจะใช้ศึกษาวิธีการลดรูปฟังก์ชัน โดยใช้ตาราง K-map ชนิด3 ตัวแปร เราสามารถดำเนินตามขั้นตอยเหมือนกับการลดรูปฟังก์ชันด้วยตาราง K-map ชนิด 2 ตัวแปร นั่นคือ การใส่ค่า Minterm ที่เป็น “1” ของเอาต์พุต F ลงใน Cell ต่างๆ ของตาราง K-map ให้ทำการวงรอบ “1” ให้ได้จำนวนมากที่สุด (จำนวนของ “1” ในแต่ละวงรอบจะมีค่าเท่ากับ โดยที่ n จะให้ แทนจำนวนเต็มบวกและศูนย์ เช่น เป็นต้น) ผลของการวงรอบในครั้งแรก เราจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ เพราะค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร B มีค่าไม่เท่ากัน และตัวแปร C ก็เช่นเดียวกัน ซึ่งค่ากำกับตำแหน่งไม่เท่ากันแสดงดัง รูปที่ 8.11 (ค) จากการสิ้นสุดของการวงรอบในครั้งแรกทำให้ยังเหลือ Minterm อยู่อีกหนึ่งตัว เพราะฉะนั้นเราจะต้องทำการวงริบต่อไปให้เสร็จสิ้น โดยทำการวงรอบ Minterm ตัวที่เหลือกับ Minterm ตัวที่ถูก วงรอบไปแล้ว เพื่อจุดประสงค์ต้องการให้หารวงรอบ MInterm ได้จำนวนมากที่สุด ผลัพธ์ที่ได้จากการวงรอบครั้งที่ 2 คือ BC

รูปที่ 8.11 ตัวอย่างการลดรูปด้วยตาราง K-map ชนิด 3 ตัวแปร

ตัวอย่างที่ 8.3 วิธีทำ แสดงดังรูปที่ 8.12 รูปที่ 8.12 การลดรูปฟังก์ชันของตัวอย่างที่ 8.3

ตัวอย่างที่ 8.4 วิธีทำ แสดงดังรูปที่ 8.13 รูปที่ 8.13 การลดรูปฟังก์ชันของตัวอย่างที่ 8.4

ตัวอย่างที่ 8.5 วิธีทำ แสดงดังรูปที่ 8.14 รูปที่ 8.14 การลดรูปฟังก์ชันของตัวอย่างที่ 8.5

8.2.4 K-map ชนิด 4 ตัวแปร K-map ชนิด 4 ตัวแปรจะประกอบด้วยจำนวน Cell เท่ากับ Cell พิจารณา K-map ชนิด 4 ตัวแปรได้ ดังรูปที่ 8.15

รูปที่ 8.15 รูปแบบของตาราง K-map ชนิด 4 ตัวแปร

ตารางความจริงในรูปที่ 8.16 เป็นการแสดงสภาวะของตัวแปร A, B, C และ D มีการกำหนด ค่าเอาต์พุต F เพื่อใช้ประกอบการ ทำความเข้าใจการลดรูปฟังก์ชันด้วยตาราง K-map ชนิด 4 ตัวแปร เมื่อเราได้ใส่ค่า Minterm ที่เป็น “1” ลงในตาราง K-map เรียบร้อยแล้ว ขั้นตอนต่อไปเป็นการวงรอบ Minterm ที่เป็น ”1”

วงรอบครั้งที่ 1 ที่เราทำการวงรอบ เป็นการวงรอบ Minterm “1” จำนวน 4 ตัวแปรด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้จากการวงรอบแรกนี้ คือ CD จากผลลัพธ์เราจะสังเกตเห็นว่า ค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A มีค่าไม่เท่ากัน ส่วนค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร B ก็มีค่า ไม่เท่ากันเช่นกันเป็นผลทำให้เราต้องตัดตัวแปร A และ B ทิ้งไป สำหรับผลลัพธ์จะไม่มีการ Complement เพราะค่ากำกับ ตำแหน่งของตัวแปร C และ D มีค่าเป็น “1” ทั้งคู่ แสดงดังรูปที่ 8.16 (ค)

วงรอบครั้งที่ 2 เราสามารถทำการวงรอบ Minterm “1” ได้ 4 ตัวด้วยกัน เมื่อพิจารณาวงรอบเราจะสังเกตเห็นว่า ค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A มีค่าเท่ากัน จึงยังคงตัวแปร A เอาไว้ ส่วนค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร B มีค่าไม่เท่ากัน จึงตัดตัวแปร B ทิ้งไป ต่อไปให้มา พิจารณาคู่ตัวแปร CD จะเห็นว่าค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร C มีค่าเท่ากัน เราจึงยังคงตัวแปร C เอาไว้ ส่วนตัวแปรD จะมีค่า กำกับตำแหน่งไม่เท่ากัน เป็นผลให้ต้องตัดตัวแปร D ทิ้งไป ผลลัพธ์ของการลดรูปในวงรอบนี้ จะได้เท่ากับ AC แสดงดังรูปที่ 8.16 (ง)

วงรอบครั้งที่ 3 จะเป็นการวงรอบ Minterm เพียงจำนวน 2 ตัว ซึ่งอยู่ใน Cell 1 เนื่องจาก Minterm จำนวน 2 ตัวนี้ ไม่สามารถทำการวงรอบร่วมกับ Minterm อื่นได้ จึงจำเป็นที่จะต้องทำการวงรอบ Minterm แค่ 2 ตัวเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จากการวงรอบ คือ เราได้ทำการ วงรอบไปแล้ว3 วงรอบด้วยกัน ยังเหลือ Minterm อีกหนึ่งตัวอยู่ใน Cell 2 เมื่อพิจารณาแล้ว “1” ตัวนี้ สามารถทำการวงรอบร่วมกับ “1” ใน Cell 3,Cell 10, Cell 11 ได้ และเราจะเห็นว่าค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A ในวงรอบนี้มีค่าไม่เท่ากัน เราจึงต้องตัดตัวแปร D ทิ้งไปในส่วนของผลลัพธ์ที่ได้จากการวงรอบในวงรอบนี้ คือ ดังรูปที่ 8.16 (ฉ)

รูปที่ 8.16 ตัวอย่างการลดรูปฟังก์ชันโดยตาราง K-map 4 ตัวแปร รูปที่ 8.16 (ต่อ)

เมื่อเราได้ทำการวงรอบ Minterm ครบทุกตัว ต่อไปเป็นการพิจารณาผลลัพธ์ของการลดรูปของฟังก์ชันนี้ หรือการนำผลลัพธ์ จากการวงรอบในแต่ละครั้ง มาบวกกันตามรูปแบบ Canonical SOP ซึ่งเราจะได้

ตัวอย่างที่ 8.6 วิธีทำ ตอบ

ตัวอย่างที่ 8.7 วิธีทำ ตอบ

ตัวอย่างที่ 8.8 วิธีทำ ตอบ

8.2.5 K-map ชนิด 5 ตัวแปร K-map ชนิด 5 ตัวแปรจะประกอบด้วยจำนวน Cell เท่ากับ Cell พิจารณาตาราง K-map ชนิด 5 ตัวแปรได้ ดังรูปที่ 8.17

รูปที่ 8.17 รูปแบบของตาราง K-map ชนิด 5 ตัวแปร

สมการข้างบนเป็นอีกสมการหนึ่งที่สามารถชี้ชัดได้ว่า การลดรูปฟังก์ชันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งเพราะว่าเป็นฟังก์ชันที่ยาวและมี ตัวแปรมากการพิจารณาการลดรูปฟังก์ชันโดยอาศัยตาราง K-map ชนิด 5 ตัวแปร สามารถดำเนินการลดรูปตามขั้นตอนการลดรูปที่ได้ กล่าวมาแล้ว ซึ่งขั้นแรกสุดเราจะต้องนำค่า Minterm ที่เป็น “1” ใส่ลงในตาราง K-map แสดงดังรูปที่ 8.18

รูปที่ 8.18 ตัวอย่างการใส่ค่าลงในตาราง K-map ชนิด 5 ตัวแปร

การวงรอบ Minterm ที่เป็น “1” ภายในตาราง K-map ให้พิจารณาแยกระหว่างวงรอบแต่ละ K-map โดยการคำนึงถึงลักษณะ การวงรอบที่เหมือนกัน แสดงดังรูปที่ 8.19

รูปที่ 8.19 ตัวอย่างการวงรอบ “1” ของตาราง K-map 5 ตัวแปร

ขั้นตอนต่อไปให้พิจารณาเปรียบเทียบตำแหน่งของวงริบทั้ง 2 K-map โดยการปิดค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A เอาไว้ ถ้าวงรอบใดอยู่ ในตำแหน่ง เดียวกันก็สามารถทำการลดรูปร่วมกันได้ วงรอบแรกอยู่ใน Cell 2, Cell 10, Cell 18 และ Cell 26 ทำให้ได้ผลการลดรูปเท่ากับ แสดงดังรูปที่ 8.20

รูปที่ 8.20 ตัวอย่างการวงรอบร่วมระหว่างตาราง K-map ในการวงรอบครั้งแรก

วงรอบต่อไปก็จะอาศัยหลักการพิจารณาเช่นเดียวกับการลดรูปในวงรอบแรก โดยการพิจารณาค่ากำกับตำแหน่งระหว่าง K-map ทั้งสอง โดยการปิดค่ากำกับตำแหน่งของตัวแปร A เอาไว้ ผลการลดรูปในวงรอบที่ประกอบด้วย Minterm ใน Cell 7, Cell 15, Cell 23 และ Cell 31 คือ CDE แสดงดังรูปที่ 8.21

รูปที่ 8.21 ตัวอย่างการวงรอบร่วมระหว่างตาราง K-map ในการวงรอบครั้งที่ 2

วงรอบ Minterm ใน Cell 0 และ Cell 1 ไม่สามารถวงรอบร่วมกับ Minterm ในตาราง K-map ทางขวามือ เพราะว่าใน Cell 16 และ Cell 17ไม่ม ี Minterm ที่เป็น “1” (Minterm เป็น “0”) เพราะฉะนั้นจึงดำเนินการลดรูปฟังก์ชัน เฉพาะภายในตาราง K-map ทางซ้ายมือ ซึ่งผลการลดรูปเท่ากับ และอีก 2 วงรอบที่สามารถทำการลดรูปฟังก์ชันร่มกันได้ คือ วงรอบที่ประกอบด้วย Minterm ใน Cell 12, Cell 13, Cell 28 และ Cell 29 ผลการลดรูปฟังก์ชันในวงรอบนี้เท่ากับ แสดงดังรูปที่ 8.22

รูปที่ 8.22 ตัวอย่างการลดรูปในการวงรอบครั้งที่ 3 และ 4 ผลลัพธ์จากการลดรูปฟังก์ชันทั้ง 4 วงรอบที่ผ่านมา เราจะได้ผลลัพธ์ของการลดรูป คือ

ตัวอย่างที่ 8.9 วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 8.10 วิธีทำ

ข้อควรระวัง จากตัวอย่างที่ 8.10 ลักษณะการวงรอบที่ผิด แสดงดังรูปที่ 8.23 กล่าวคือลักษณะการวงรอบร่วมทั้ง 2 วงรอบ ไม่ได้อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหรือวงรอบทั้งสอง ไม่เป็น Logic Adjacent กัน จึงไม่สามารถทำการวงรอบร่วมกันได้

รูปที่ 8.23 ตัวอย่างการวงรอบที่ไม่ถูกต้องของตาราง K-map 5 ตัวแปร

ตัวอย่างที่ 8.11 วิธีทำ << G o To Top

8.3 เทอมไม่สนใจ (Don’t Care term) การออกแบบวงจรดิจิตอลในบางสภาวะ เราไม่มีความจำเป็นที่จะต้องกำหนดค่าเอาต์พุตให้กับสภาวะนั้นเป็น “1” หรือ “0” นั่นก็หมายถึงว่าในสภาวะนั้นสามารถมีค่าเอาต์พุตเป็น “1” หรือ “0” ก็ได้ เพราะฉะนั้นแล้ว เราจะแทนลักษณะเหตุการณ์เช่น นี้ด้วยเงื่อนไข Don’t Care เพื่อเป็นประโยชน์ต่อการลดรูปฟังก์ชัน เราอาจจะกำหนด Don’t Care ให้ใช้สัญลักษณ์แทนได้ หลายอย่าง เช่น d แต่ในกรณีนี้เราจะใช้สัญลักษณ์ โดยจะกำหนดให้ มีค่าเป็น Minterm ที่เป็น “1” หาก อยู่ในวงรอบ และจะกำหนดให้ เป็น Minterm ที่เป็น “0” หากว่า ตัวนั้นอยู่นอกวงรอบ

ตัวอย่างที่ 8.12 วิธีทำ

ในตัวอย่างที่ 8.12 ใน Cell 2 และ Cell 6 ถูกกำหนดให้ Minterm มีค่าเป็น “1” เพื่อให้สามารถทำการวงรอบร่วมกับ Minterm ที่เป็น “1” อีก 2 ตัว ส่วน ใน Cell 0 ถูกกำหนดให้เป็น Minterm ที่มีค่าเป็น “0” เพื่อไม่เป็นการเพิ่มตัวแปรใน ฟังก์ชันให้มีจำนวนมากขึ้นอีก

8.4 K-map ชนิด 6 ตัวแปร และ n ตัวแปร จากการลดรูปฟังก์ชันโดยใช้ตาราง K-map ที่ผ่านมาทั้งหมดตั้งแต่ 1 ตัวแปรถึง 5 ตัวแปร การลดรูปฟังก์ชันโดยใช้ตาราง K-map อยู่บนพื้นฐานของการลดรูปฟังก์ชัน โดยใช้ทฤษฎีของบูลีน ในลักษณะของการแยกตัวประกอบร่วมทั้งสิ้น การจัดรูปแบบ ของตาราง K-map โดยอาศัยความเป็น Logic Adjacent กันของแต่ละ Cell ที่อยู่ใกล้กัน เพื่อให้เกิดความง่ายต่อการลดรูป ฟังก์ชัน เราจะสังเกตเห็นได้ว่า ค่ากำกับตำแหน่งทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ได้มาจากการประยุกต์ รหัสเกรย์ (Gray Code) ด้วยกัน ทั้งสิ้น เราจะนำเอาตารางของรหัสเกรย์ มาทำความเข้าใจต่อการลดรูปฟังก์ชันที่มีจำนวนตัวแปรมากขึ้นจนถึง n ตัวแปร (n คือจำนวนเต็มบวกใดๆ)

รูปที่ 8.24 ตารางจำนวนรหัสเกรย์ 16 จำนวน

จากตารางในรูปที่ 8.24 ค่าลำดับที่แสดงให้เห็นในตารางทั้ง 2 ได้มาจากการพิจารณา ของรหัสเกรย์ ผลของการ จัดวางตำแหน่งใหม่แสดงดังตารางทางขวามือ ไม่สามารถจัดอยู่ในนิยามของรหัสเกรย์ได้อีกแล้ว สำหรับลักษณะการพิจารณาความ เป็น Logic Adjacent กันตั้งแต่ 0-15 การจัดวางตำแหน่งใหม่ของค่าที่แสดงในตารางทางขวามือ เราจะยึดเอาค่าในลำดับที่ 0 เป็นหลัก แล้วจัดวางค่า จำนวนในลำดับที่ 1, 2 และ 3 ให้มีความเป็น Logic Adjacent หรือมีระยะห่างน้อยที่สุด โดยเปรียบเทียบ กับค่าที่วางอยู่ในลำดับ 0 ตัวอย่างเช่น เราได้จัดวางค่า “0100” ไว้ในตำแหน่งแรกของลำดับที่ 1 ซึ่งตรงกับตำแหน่งแรกในลำดับ 0 คือ “0000” การจัด “0100” ไว้ในตำแหน่งแรกเพราะค่า “0100” มีความเป็น Logic Adjacent กับค่า “0000” ในลำดับ 0 โดยค่า 0101, 0111 และ 0110 ไม่มีความเป็น Logic Adjacent กับค่า “0000” สำหรับการจัดวางตำแหน่งใหม่ของลำดับอื่นๆ นั้นก็ สามารถพิจารณาได้ในลักษณะเดียวกัน ส่วนการจัดวางตำแหน่งใหม่ในลำดับที่ 3 จะพบว่าไม่มีความเป็น Logic Adjacent กันเลยเมื่อ เปรียบเทียบกับค่าในลำดับ 0 เพราะฉะนั้น การจัดให้เราพิจารณาระยะห่างที่น้อยที่สุด คือ 2 บิต ตัวอย่างเช่น การจัดค่า“1100” ไว้ใน ตำแหน่งแรกของลำดับที่ 3 เพราะว่าค่าจำนวนอื่นๆ ในลำดับที่ 3 มีระยะห่างกับค่า “0000” มากกว่า 2 บิต ทั้งนั้นจากการศึกษาที่ผ่านมา เราจะพบว่า Cell 0 กับ Cell 3 ของตาราง K-mapไม่สามารถวงรอบร่วมกันได้ ก็เนื่องมาจากสาเหตุความไม่ได้เป็น Logic Adjacent กันนั่นเอง ต่อไปเราจะนำเอาค่าที่ได้จากการจัดรูปใหม่ดังแสดงในรูปที่ 8.24 มาสร้างเป็นตาราง K-map 6 ตัวแปร จากรูปแบบของตาราง K-map ที่ได้ศึกษากันมา จะดำเนินการแบ่งจำนวนตัวแปรออกเป็น 2 ส่วน คือ ตัวแปรที่อยู่ในแนวตั้ง และตัวแปรที่อยู่ในแนวนอน ทั้งนี้ทั้งนั้น การแบ่งจำนวนตัวแปรจะเป็นไปในลักษณะที่แนวตั้งมากกว่าแนวนอน หรือตรงกันข้าม หรือเท่ากันขึ้นอยู่กับความพึงพอใจของผู้วิเคราะห์ และ ออกแบบ เพื่อความหลากหลายในการทำความ เข้าใจตาราง K-map จำนวน 6 ตัวแปร เราจะมีการกำหนดให้จำนวนตัวแปรในแนวตั้งและ แนวนอนมีจำนวนเท่ากันเป็นกรณีแรก และกรณีที่ 2 เราจะกำหนดให้ตัวแปรในแนวตั้งเป็น 4 ตัวแปร และที่เหลืออีก 2 ตัวแปร อยู่ในแนวนอน ดังแสดงในรูปที่ 8.25 และ 8.26 ตามลำดับ

รูปที่ 8.25 ตัวอย่างตาราง K-map จำนวน 6 ตัวแปร ในรูปแบบที่กำหนดให้แนวตั้ง และแนวนอนมีจำนวนตัวแปรเท่ากัน [F(A,B,C,D,E,F)] รูปที่ 8.26 ตาราง K-map จำนวน 6 ตัวแปร ในรูปแบบที่กำหนดให้แนวตั้งประกอบด้วย 4 ตัวแปร และแนวนอนประกอบด้วย 2 ตัวแปร [F(A,B,C,D,E,F)]

ให้เราพิจารณาตาราง K-map จำนวน 6 ตัวแปร ดังแสดงในรูปที่ 8.25 และ 8.26 จะเห็นว่ามันได้ขยายมาจากตาราง K-map จำนวน 2 ตัวแปร และการวงรอบเพื่อการลดรูปฟังก์ชัน ให้เราทำความเข้าใจให้จงหนักว่า จะต้องเป็น Cell ที่เป็น Logic Adjacent กันเท่านั้น เราจะทำความเข้าใจการลดรูปฟังก์ชันในตัวอย่างที่ 8.13

ตัวอย่างที่ 8.13 เราจะดำเนินการลดรูปฟังก์ชันต่อไปนี้

วิธีทำ จากตัวอย่างแรกของการลดรูปฟังก์ชัน นอกเหนือจากการพิจารณาความเป็น Logic Adjacent ของค่า “1” ในแต่ละ Cell แล้ว เพื่อรักษาผลประโยชน์ของการวงรอบที่สูงสุด ในขั้นต้นเราควรพิจารณา “1” ของทั้ง 4 ส่วน ของตาราง K-map ตัวอย่างเช่น การวงรอบ “1” ใน Cell 2, 3, 6, 7, 1011, 14, 15, 34, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 47 เพื่อให้เหลือตัวแปรน้อยที่สุด โดยจำเป็นที่เราจะต้องกำหนดให้ ใน Cell ที่ต้องวงรอบร่วมมีค่าเป็น “1” จากนั้นก็ดำเนินการพิจารณาระหว่าง 2 ส่วนของตาราง K-map ซึ่งอาจจะเป็นส่วนของมันเอง เช่น ตัวอย่างการวง รอบ “1” ใน Cell ที่ 1 และ 3 กับ 17 และ 19

ข้อที่ 1 ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 3

ข้อที่ 3 ของตัวอย่างที่ 8.13 เป็นฟังก์ชันจำนวน 7 ตัวแปร เพราะฉะนั้นเราจะเลือกแบ่งจำนวนตัวแปรทางแนวตั้งเป็นจำนวน 4 ตัวแปร และในแนวนอนจำนวน 3 ตัวแปร ดังแสดงให้เห็นในขั้นตอนการลดรูปฟังก์ชัน การพิจารณาวงรอบ “1” ในขั้นต้น เราควร พิจารณาร่วมกันทั้ง 8 ส่วนของตาราง K-map และ 4, 2, 1 ตามลำดับ เมื่อเราได้ทราบถึงโครงสร้างและที่มาของตาราง K-map ตลอดจนข้อกำหนดของการวงรอบ “1” เพื่อลดรูปฟังก์ชัน คงจะ ไม่เป็นเรื่องยากอีกแล้วสำหรับการลดรูปด้วยตาราง K-map ที่มีจำนวนตัวแปรมากๆ แต่ถึงแม้ว่าเราจะมีความเข้าใจและสามารถลดรูป ฟังก์ชันที่มีจำนวนตัวแปรมากๆ ได้แล้วการจะนำไปสู่ประสิทธิผลอันสูงสุดของการออกแบบ มันไม่เป็นเช่นนั้น ระบบดิจิตอลมีข้อจำกัด หลายอย่าง ที่ทำให้ตัวมันไม่สามารถเป็นระบบใหญ่ได้ ถ้าหากเราต้องการออกแบบระบบดิจิตอลที่มีความซับซ้อน และมีการจัดการด้าน ข้อมูลจำนวนมาก คงเป็นเรื่องที่ไม่ดีแน่ ถ้าเราจะต้องใช้ระบบดิจิตอล (ระดับความเหมาะสม ไม่มีเกณฑ์ตัดสินที่ตายตัว ขึ้นอยู่กับความ ต้องการของผู้ออกแบบ โดยอาศัยปัจจัยต่างๆ ตัดสิน เช่น ความสะดวกในการออกแบบงบประมาณ ความง่ายต่อการใช้งาน เป็นต้น สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นเงื่อนไขทางการตลาดทั้งสิ้น) เราควรจะหันไปให้ความสนใจกับไมโครโปรเซสเซอร์ หรือ ไมโครคอนโทรลเลอร์ หรือ ไมโครคอมพิวเตอร์ต่อไป

้ ข้อที่ 2 ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 3 ข้อที่ 3 ขั้นตอนที่ 1 (8 ส่วน) ขั้นตอนที่ 2 (4 ส่วน) ขั้นตอนที่ 3 (2 และ 1 ส่วน)